Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足f（1）=5且b＜f（2）＜11
（1）求a、c
（2）若对任意的实数x∈[2，4]，都有f（x）-2mx≥1，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=5可得c=3-a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c；
（2）不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+

1

x

在[2，4]上恒成立．只需求出(x+

1

x

)min；

解答：解：（1）∵f（1）=a+2+c=5，∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+2．
∵x∈[2，4]，
∴不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+

1

x

在[2，4]上恒成立．
易知(x+

1

x

)min=

5

2

，故只需2m-2≤

5

2

即可．
解得m≤

9

4

．

点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．