Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-

n(n-1)

2

，n∈N₊．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求证：若数列{a_n}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．

Answer 1

分析：（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得到S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，由此两方程相减，并利用S_n+1-S_n=a_n+1化简，整理后得到a_n+1-a_n=1，可确定出数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}中的第x+i，x+j及x+k成等比数列，且i＜j＜k，利用等比数列的性质列出关系式，整理后得到x（i+k-2j）=j²-ik，然后利用反证法证明i+k-2j不为0，方法为：假设i+k-2j为0，可得j²-ik，即i=j=k，与i＜j＜k矛盾，故i+k-2j不为0，分离出x，根据i，j，k都是非负数，可得出x为有理数，得证．

解答：解：（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得：S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n，
∴a_n+1-a_n=1，又数列{a_n}首项为x，
则数列{a_n}是首项为x，公差为1的等差数列；
（2）若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k，
则（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik，
若i+k-2j=0，则j²-ik=0，
∴i=j=k与i＜j＜k矛盾，
则i+k-2j≠0，
∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非负数，
∴x是有理数．

点评：此题考查了等比数列的性质，反证法的运用，等差数列的确定，以及数列的递推式S_n+1-S_n=a_n+1，解第一问的关键是充分利用递推式的恒成立的特性，通过恒等变形得到数列的性质，从而确定出数列为等差数列．