Question

设数列{a_n} 前n项和Sn=

n(an+1)

2

，n∈N*且a2=a，
（1）求数列{a_n} 的通项公式a_n．
（2）若a=3，T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，求T₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）、根据等差数列的性质和题中已知条件先求出a₁的值，进而求得公差d，便可 求得数列{a_n} 的通项公式a_n；
（2）、根据a=3便可求出an的通项公式，进而求得Tn的表达式，进而求得T₁₀₀的值．

解答：解（1）∵

sn= n(an+1) 2 sn+1= (n+1)(an+1+1) 2

S_n+1-S_n得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+1（12分）
即（n-1）a_n+1=na_n-1③
∴na_n+2=（n+1）a_n+1-1④（4分）
④-③得na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n
?n（a_n+2+a_n）=2na_n+1
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁（6分）
而n=1时S1=

a1+1

2

=a1，
∴a₁=1，又a₂=a=a₁+d
∴{a_n} 为等差数列，公式d=a-1
故a_n=a₁+（n-1）d=（n-1）（a-1）+1；（8分）
（2）∵a=3
∴a_n=2（n-1）+1=2n-1（10分）
故T₁₀₀=a₁a₂-a₂a₃+a₁₀₀a₁₀₁
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a₁₀₀（a₉₉-a₁₀₁）
=-4（a₂+a₄++a₁₀₀）
=-4

(a2+a100)×50

2

=-100（3+199）=-20200（13分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了学生的计算能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．