Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0 ， y0）， ，
由题意知 解得x0=2，所以 ，
从而点P的坐标为 ．
（Ⅱ）证明：设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）= ，
，x∈（0，+∞），
设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣a，
①当a≤1时，因为x＞0，所以ex＞1，所以h'（x）=ex﹣a＞0，
所以h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=1＞0；
②当1＜a≤e时，令h'（x）=0，则x=lna，
所以x∈（0，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0．
所以h（x）≥h（lna）=a（1﹣lna）≥0，
由①②可知：x∈（0，+∞）时，有h（x）≥0，
所以有：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↓	极小值	↑

所以g（x）min=g（1）=e﹣a≥0，从而有当x∈（0，+∞）时，f（x）≥a（x﹣lnx）
【解析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x0 ， y0）， ，由题意列出方程组，能求出点P的坐标．（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）= ， ，x∈（0，+∞），设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣a，由此利用分类讨论和导数性质能证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．