Question

5．已知t＞0，关于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$，则这个方程的实数的个数是（　　）

• A． 0或2
• B． 0或2或3或4
• C． 0或2或4
• D． 0或1或2或3或4

Answer 1

分析 因为关于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$等号两边均为正数，转化为C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$的图象的交点问题，可通过在同一坐标系中做出函数C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，的图象，通过判断图象交点个数来判断方程的相异实根根数．

解答 解：令C1：y=|x|-$\sqrt{2}$，C2：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，
由于y=|x|-$\sqrt{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}，x≥0}\\{-x-\sqrt{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
方程y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$平方得：x²+y²=t，（y≤0），
画出它们的图象，如图所示，一个是折线，一个是半个圆．
当圆心（0，0）到直线y=x-$\sqrt{2}$的距离等于半径时，
即$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1=$\sqrt{t}$时，t=1；
当圆经过点（0，-$\sqrt{2}$）时，0²+（-$\sqrt{2}$）²=t，⇒t=2．
利用数形结合知：当0＜t＜1或t＞2时，方程无实数根；
当t=1时，方程有2个实数根；
当t=2时，方程有3个实数根；
当1＜t＜2时，方程有4个实数根．
综合，则这个方程实根的个数情况是 0或2或3或4．
故选：B．

点评 本题主要考查图象法判断方程的实根个数，关键是画出两个函数的图象．