Question

13．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）求出第4组的频率；
（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；
（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出第4组的频率．
（2）由频率分布直方图能估计样本的中位数．
（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，由此能求出至少有一人是“优秀”的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
第4组的频率为：p=1-（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2．
（2）由频率分布直方图得：
[75，85）的频率为（0.01+0.07）×5=0.4，
[85，90）的频率为：0.06×5=0.3，
∴根据样本频率分布直方图估计样本的中位数为：
85+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×5$=$\frac{250}{3}$．
（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，
再从这5人中选2人，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，
∴至少有一人是“优秀”的概率p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查古典概型的概率计算，属于基础题．