Question

3．已知等差数列{a_n}中，a₂+a₆=14，S_n为其前n项和，S₅=25．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．
（2）化简通项公式的表达式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₂+a₆=14，S_n为其前n项和，S₅=25．∴a₃=5，
可得5-d+5+3d=14，解得d=2，则a₁=1．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$，
所以T_n的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项公式的应用，裂项法求解数列的和，考查转化思想以及计算能力．