Question

8．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．
（3）若f（x）≤-2at+4对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x＞0，则-x＜0，利用已知函数解析式和函数的奇偶性可得x＞0时的解析式，则答案可求；
（2）求出函数g（x），找出对称轴方程，对a分类求得函数的最小值；
（3）把f（x）≤-2at+4对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，转化为0≤-2at+4，进一步转化为关于t的不等式组得答案．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0.\end{array}\right.$；
（2）g（x）=f（x）+（4-2a）x+2=x²+2x-2ax+2（1≤x≤2），对称轴方程为：x=a-1，
当a-1≤1 时，g（1）=5-2a为最小；
当1＜a-1≤2时，g（a-1）=-a²+2a+1为最小；
当a-1＞2时，g（2）=10-4a为最小．
综上：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-2a，a≤2}\\{-{a}^{2}+2a+1，2＜a≤3}\\{10-4a，a＞3}\end{array}\right.$；
（3）f（x）≤-2at+4对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即0≤-2at+4，也就是2ta-4≤0，a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2t-4≤0}\\{2t-4≤0}\end{array}\right.$，解得：-2≤t≤2．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．