Question

20．已知抛物线y²=16x的准线过双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一个焦点，且双曲线的一条渐近线为$y=\sqrt{3}x$，则该双曲线的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程即可．

解答 解：抛物线y²=16x的准线x=-4过双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一个焦点（-4，0），
双曲线的一条渐近线为$y=\sqrt{3}x$，可得b=$\sqrt{3}a$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=4$，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查双曲线方程的求法，抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．