Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（0，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，以原点O为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M，N两点，求证：△OMN的面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过点$（0，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程给求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x轴同侧，不妨设x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，推导出${y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}$，${y}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}{x}_{2}$，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M′，N′，${S}_{△OMN}={S}_{四边形M{M}^{'}{N}^{'}N}$-${S}_{△OM{M}^{'}}-{S}_{△ON{N}^{'}}$=-${x}_{1}{x}_{2}•\frac{1}{{y}_{0}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1}\\{{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}+2（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}）^{2}=4$，由此求出${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$．当M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x轴异侧，同理得${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$，由此能证明△OMN的面积为定值$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（0，\sqrt{2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
证明：（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x轴同侧，不妨设x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，
射线OM的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}x$，射线ON的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}x$，
∴${y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}$，${y}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}{x}_{2}$，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M′，N′，
${S}_{△OMN}={S}_{四边形M{M}^{'}{N}^{'}N}$-${S}_{△OM{M}^{'}}-{S}_{△ON{N}^{'}}$
=$\frac{1}{2}[（{y}_{1}+{y}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{y}_{1}+{x}_{2}{y}_{2}]$
=$\frac{1}{2}（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）=\frac{1}{2}（{x}_{1}•\frac{{y}_{0}{x}_{2}}{{x}_{0}-2}{-x}_{2}•\frac{{y}_{0}{x}_{1}}{{x}_{0}+2}）$
=$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}•\frac{4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}•\frac{4{y}_{0}}{-2{y}_{0}}$=-${x}_{1}{x}_{2}•\frac{1}{{y}_{0}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1}\\{{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}+2（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}）^{2}=4$，
即${{x}_{1}}^{2}=\frac{4（{x}_{0}+2）^{2}}{（{x}_{0}+2）^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4（{x}_{0}+2）^{2}}{（{x}_{0}+2）^{2}+4-{{x}_{0}}^{2}}$=2+x₀，
同理，${{x}_{2}}^{2}$=2-x₀，∴${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=4-${{x}_{0}}^{2}$=2${{y}_{0}}^{2}$，即${x}_{1}{x}_{2}=-\sqrt{2}{y}_{0}$，
∴${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$．
②M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x轴异侧，同理①得${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$，
综合①②，△OMN的面积为定值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积为定值的证明，考查椭圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．