Question

13．已知椭圆W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，椭圆上一动点P满足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；
（Ⅱ）如图，过点F₁作直线l₁与椭圆W交于点A，C，过点F₂作直线l₂⊥l₁，且l₂与椭圆W交于点B，D，l₁与l₂交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F₁F₂|=2c=2，求得a和c的值，则b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的方程及离心率．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨，丨BD丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：|F₁F₂|=2c=2，c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=2，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）当直线l₂⊥l₁，当斜率不存在时，EF₁⊥EF₂，此时求得丨EO丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=1，
∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，
∴四边形ABCD面积S=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BE丨+$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨DE丨=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨，
将x=-1代入椭圆方程，求得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时丨BD丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，丨AC丨=2$\sqrt{3}$，
则四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=4，
当直线l₂，l₁都存在时，设直线l₁，x=my-1，（m≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2m²+3）y²-4my-4=0，
则y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2{m}^{2}+3}$，
则丨AC丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2{m}^{2}+3}$，
同理直线l₁，x=-$\frac{1}{m}$x+1，同理求得丨BD丨=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2+3{m}^{2}}$，
∴四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2{m}^{2}+3}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{2+3{m}^{2}}$，
=$\frac{24（{m}^{2}+1）^{2}}{（2{m}^{2}+3）（3{m}^{2}+2）}$，
=$\frac{24（{m}^{4}+2{m}^{2}+1）}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$=4×$\frac{6{m}^{4}+12{m}^{2}+6}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$，
=4（1-$\frac{{m}^{2}}{6{m}^{4}+13{m}^{2}+6}$）＜4，
综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l₂，l₁一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查函数的单调性及椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．