Question

15．已知a=${∫}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$2cos（x-$\frac{π}{4}$）dx，则（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中x³的系数为60．

Answer 1

分析 先根据定积分求出a的值，再根据二项式的通向公式求得结果．

解答 解：a=${∫}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$2cos（x-$\frac{π}{4}$）dx=2sin（x-$\frac{π}{4}$）|${\;}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$=2[sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）]=2，
∴（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的通项为C₆^r（-2）^rx${\;}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=3，解得r=2，
∴展开式中x³的系数为C₆²（-2）²=60
故答案为：60

点评 本题主要考查了定积分的计算和二项式定理，属于基础题．