Question

5．设函数$f（x）=tan\frac{x}{4}•{cos^2}\frac{x}{4}-2{cos^2}（{\frac{x}{4}+\frac{π}{12}}）+1$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-π，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）先将函数化简，再求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）f（x）在区间[-π，0]的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}-cos（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）$=$sin\frac{x}{2}-cos（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）=sin\frac{x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}=\sqrt{3}sin（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$，
由$\frac{x}{4}≠\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$得f（x）的定义域为{x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}
故f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，
（Ⅱ）∵-π≤x≤0，∴$-\frac{2π}{3}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤-\frac{π}{6}$，
∴$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[{-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{2}}]，即x∈[{-π，-\frac{2π}{3}}]，f（x）单调递减$，
∴$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}}]，即x∈[{-\frac{2π}{3}，0}]，f（x）单调递增$，
∴$f{（x）_{min}}=f（-\frac{2π}{3}）=-\sqrt{3}$，
∴$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，f（-π）=-\frac{3}{2}$，
∴$f{（x）_{max}}=f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

点评 本题考查三角函数的化简，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．