Question

16．已知向量$\overrightarrow a，\;\overrightarrow b，\;\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a=（{1，\;2}）$．
（1）若$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，且向量$\overrightarrow c$与向量$\overrightarrow a$反向，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若$|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的射影．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，求出模长|$\overrightarrow{c}$|得出向量$\overrightarrow{c}$；
（2）由平面向量的数量积求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，根据射影的定义写出|$\overrightarrow{a}$|cosθ即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），
设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，向量$\overrightarrow c$与向量$\overrightarrow a$反向，
则$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），λ＜0；
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+（2λ）}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得λ=-2，
∴$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；…（6分）
（2）由|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，及$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴2×（1²+2²）+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$=$\frac{15}{4}$，
解得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{4}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积以及射影的定义与应用问题，是基础题．