Question

2．函数$f（x）=ax-\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，5）
• D． （-∞，5]

Answer 1

分析 要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．

解答 解：∵函数$f（x）=ax-\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$，在区间[1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=-$\frac{4}{x}$-x+a=$\frac{-{x}^{2}+ax-4}{x}$，
由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得-x²+ax-4≤0在区间[1，+∞）上恒成立
可得△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{a-5≤0}\end{array}\right.$，即a²-16≤0或a≤2．
解得-4≤a≤4或a≤2，
故a的取值范围为：（-∞，4]．
故选：B．

点评 本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，等数学思想与方法．