Question

11．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ²-ρ²cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；
（2）求$\frac{{|{FA}|}}{{|{FB}|}}+\frac{{|{FB}|}}{{|{FA}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为2ρ²-ρ²cos2θ=12．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，可得其左焦点，即可得出m．
（2）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\end{array}}\right.$，与曲线C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x-y=m．
曲线C的极坐标方程为2ρ²-ρ²cos2θ=12．可得曲线C的直角坐标方程：2（x²+y²）-（x²-y²）=12，
∴曲线C的标准方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，则其左焦点为$（{-2\sqrt{2}，0}）$，
故$m=-2\sqrt{2}$，曲线C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\end{array}}\right.$，与曲线C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$联立，
得t'²-2t'-2=0，则|FA|•|FB|=|t'₁t'₂|=2，
$|{FA}|+|{FB}|=|{{{t'}_1}-{{t'}_2}}|=\sqrt{{{（{{{t'}_1}+{{t'}_2}}）}^2}-4{{t'}_1}{{t'}_2}}=2\sqrt{3}$，
故$\frac{{|{FA}|}}{{|{FB}|}}+\frac{{|{FB}|}}{{|{FA}|}}=\frac{{{{（{|{FA}|+|{FB}|}）}^2}}}{{|{FB}|•|{FA}|}}-2=4$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．