Question

19．已知函数f（x）=-x³+ax，其中a∈R，$g（x）=-\frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}}$，
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$a＜{（{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}）_{min}}$，设$h（x）={x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=-3x²+a，
①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）在R上单调递减，
②当a＞0时，$f'（x）=-3（{x^2}-\frac{a}{3}）=-3（x+\sqrt{\frac{a}{3}}）（x-\sqrt{\frac{a}{3}}）$，
令f'（x）＞0得$x＜-\sqrt{\frac{a}{3}}或x＞\sqrt{\frac{a}{3}}$，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
令f'（x）＜0得$-\sqrt{\frac{a}{3}}＜x＜\sqrt{\frac{a}{3}}$，
∴f（x）的单调递减区间为（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
（2）设$F（x）=f（x）-g（x）=-x3+ax+\frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}}$，
∵f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
∴F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
∴$a＜{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$在（0，1]上恒成立，即$a＜{（{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}）_{min}}$，
设$h（x）={x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$，则$h'（x）=2x-\frac{1}{{4\sqrt{x}}}=\frac{{（2\sqrt{x}-1）（4x+2\sqrt{x}+1）}}{{4\sqrt{x}}}$，
令h'（x）=0，则$（2\sqrt{x}-1）（4x+2\sqrt{x}$f（x）+1）=0，
又∵$（4x+2\sqrt{x}+1）＞0$，∴$（2\sqrt{x}-1）=0$，∴$x=\frac{1}{4}$，
又∵$x∈（0，\frac{1}{4}）$时，h'（x）＜0，递减，
$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$时，h'（x）＞0，f（x）递增，
∴$x=\frac{1}{4}$时，h（x）有最小值$h（\frac{1}{4}）=-\frac{3}{16}$，
∴$a＜-\frac{3}{16}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．