Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，又数列{b_n}满足：a_n•b_n=n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当λ为何值时，数列{b_n}是等比数列？并证此时数列{b_n}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列的前n项和求出首项，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2的通项公式，验证首项后得答案；
（Ⅱ）由a_n•b_n=n求出数列{b_n}的通项公式，结合数列{b_n}是等比数列求得λ值，再由等比数列的前n项和公式证明数列{b_n}的前n项和T_n＜2．

解答 （Ⅰ）解：由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=λ；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（n-1）•{2}^{n}-（n-2）•{2}^{n-1}=n•{2}^{n-1}$，
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{λ（n=1）}\\{n•{2}^{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）证明：由a_n•b_n=n，有${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}（n=1）}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$，
若数列{b_n}为等比数列，则首项为${b}_{1}=\frac{1}{λ}$满足n≥2的情况，故λ=1，
则${b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$＜2．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．