Question

3．在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，P为BC边上的动点，则$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$的值为10．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出向量$\overrightarrow{AP}$，求$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$即可．

解答 解：如图所示，

△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P为BC边上的动点，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=（1-λ）${\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=（1-λ）×3²+λ×3²+3×3×$\frac{{3}^{2}{+3}^{2}{-4}^{2}}{2×3×3}$
=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．