Question

18．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$，O为底面中心．
（1）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（2）求三棱锥A₁-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁O⊥平面BC₁D．
（2）先求出${S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{BD}|×|\overrightarrow{B{C}_{1}}|×sin＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞$=2$\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{{A}_{1}O}|$=2，由此能求出三棱锥A₁-BC₁D的体积．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$，O为底面中心，
∴A₁（0，0，$\sqrt{2}$），O（1，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C₁（2，2，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}O}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}O}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0+2-2=0，$\overrightarrow{{A}_{1}O}•\overrightarrow{BD}$=-2+2=0，
∴A₁O⊥BC₁，A₁O⊥BD，
又BC₁∩BD=B，∴A₁O⊥平面BC₁D．
解：（2）cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，sin＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{BD}|×|\overrightarrow{B{C}_{1}}|×sin＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞$=$\frac{1}{2}×\sqrt{8}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=2$\sqrt{2}$，
$|\overrightarrow{{A}_{1}O}|$=$\sqrt{1+1+2}=2$，
∴三棱锥A₁-BC₁D的体积${V}_{{A}_{1}-B{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×|\overrightarrow{{A}_{1}O}|×{S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．