Question

9．设函数f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|（x＞0）．
（1）写出函数的单调区间和极值．
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）取得绝对值符号，利用基本函数的单调性判断单调区间，求出极值即可．
（2）利用函数的单调性以及方程，求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|（x＞0）．当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f（x）在（0，1]上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）=1-$\frac{1}{x}$，是增函数，
在（1，+∞）上是增函数，
当x=1时有极小值0…（6分）
（2）由f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，
由0＜a＜b且f（a）=f（b），取0＜a＜1＜b，且$\frac{1}{a}$-1=1-$\frac{1}{b}$，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2…..（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．