Question

5．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，F为椭圆C的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点$E（{1，\frac{3}{2}}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞a）于M，N两点，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求得直线直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂，由P在椭圆方程，则y₀²=3-$\frac{3}{4}$x₀²，即可求得k₁k₂为定值；
（ⅱ）由题意可知$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意可知：由A（-2，0），B（2，0），设P（x₀，y₀）在椭圆方程C上，
则x₀≠0，y₀²=3-$\frac{3}{4}$x₀²，
则k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
由k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁k₂为定值-$\frac{3}{4}$；
（ⅱ）由题意可知：直线AP、BP的斜率一点存在，设直线AP：y=k₁（x+2），
令x=m，则y=k₁（m+2），即M（m，k₁（m+2）），
直线BP：y=k₂（x-2），令x=m，则y=k₂（m-2），即N（m，k₂（m-2）），m＞2，
以MN为直径的圆过点F（1，0），
则FM⊥FN，即$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，
即$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（m-1，k₁（m+2））（m-1，k₂（m-2）），
=（m-1）²+k₁k₂（m²-4）=0，
由（ⅰ）可知：k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，代入椭圆方程，整理得：
（m-1）²+（-$\frac{3}{4}$）（m²-4）=0，即（m²-4）=0，解得：m=4，
实数m的值4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．