Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-1，$\frac{3}{2}$），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-1，$\frac{3}{2}$），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）依题意直线PQ过点（$\frac{1}{2}$，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+$\frac{1}{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）依题意直线PQ过点（$\frac{1}{2}$，0），且斜率不为0，
故可设其方程为x=my+$\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得4（3m²+4）y²+12my-45=0，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₀，y₀），直线AR的斜率为k，
故${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{0}=-\frac{3m}{2（3{m}^{2}+4）}$，
∴${x}_{0}=m{y}_{0}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3{m}^{2}+4}$，∴k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=\frac{m}{4{m}^{2}+4}$，
当m=0时，k=0，
当m≠0时，k=$\frac{1}{4m+\frac{4}{m}}$，故|4m+$\frac{4}{m}$|=4|m|+$\frac{4}{|m|}$，
∴0＜$\frac{1}{4|m|+\frac{4}{|m|}}$≤$\frac{1}{8}$，
∴0＜|k|$≤\frac{1}{8}$，∴-$\frac{1}{8}$$≤k≤\frac{1}{8}$，且k≠0，
综上所述，直线AR的斜率的取值范围是[-$\frac{1}{8}，\frac{1}{8}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．