Question

18．在△ABC中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{2}$，其面积为$\sqrt{2}$，则tan²A•sin2B的最大值是3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据数量积运算与三角形的面积公式求出C的值，从而求出A+B的值；利用三角恒等变换化tan²A•sin2B为tan²A•$\frac{1{-tan}^{2}A}{1{+tan}^{2}A}$，设tan²A=t，t∈（0，1）；上式化为t•$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{t（1-t）}{1+t}$，利用基本不等式求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{2}$，
∴bacos（π-C）=-bacosC=2$\sqrt{2}$，
∴abcosC=-2$\sqrt{2}$；
又三角形的面积为$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{2}$，
∴absinC=2$\sqrt{2}$；
∴sinC=-cosC，
∴C=$\frac{3π}{4}$，
∴A+B=$\frac{π}{4}$；
∴tan²A•sin2B=tan²A•sin2（$\frac{π}{4}$-A）
=tan²A•cos2A
=tan²A•（cos²A-sin²A）
=tan²A•$\frac{{cos}^{2}A{-sin}^{2}A}{{sin}^{2}A{+cos}^{2}A}$
=tan²A•$\frac{1{-tan}^{2}A}{1{+tan}^{2}A}$；
设tan²A=t，则t∈（0，1）；
上式化为t•$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{t（1-t）}{1+t}$
=$\frac{{-（t+1）}^{2}+3（t+1）-2}{t+1}$
=-（t+1）-$\frac{2}{t+1}$+3≤-2•$\sqrt{（t+1）•\frac{2}{t+1}}$+3=3-2$\sqrt{2}$，
当且仅当t+1=$\sqrt{2}$，即t=$\sqrt{2}$-1时取“=”；
∴所求的最大值是3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与三角形的面积公式以及三角恒等变换和基本不等式的应用问题，是综合题．