Question

9．函数f（x）=$\frac{ax+1}{x-2}$满足f（4-x）+f（x）=2．
（Ⅰ）求a的值，并用函数单调性的定义证明f（x）在（3，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）若g（x）=|x+a|+|2x-3|，画出函数g（x）的简图并求出该函数的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）关于（2，1）对称，即可求a的值，先将原函数变成f（x）=1+$\frac{3}{x-2}$，根据减函数的定义，设x₁＞x₂＞1，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（Ⅱ）g（x）=|x+1|+|2x-3|，即可画出函数g（x）的简图并求出该函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（4-x）+f（x）=2，∴函数f（x）关于（2，1）对称，
∵f（x）=$\frac{ax+1}{x-2}$=a+$\frac{2a+1}{x-2}$，
∴a=1，
∴f（x）=1+$\frac{3}{x-2}$，
证明如下：
设x₁＞x₂＞3，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
∵x₁＞x₂＞3；
∴x₂-x₁＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．
（Ⅱ）g（x）=|x+a|+|2x-3|=|x+1|+|2x-3|，
函数g（x）的简图如图所示，

该函数的值域[2.5，+∞）．

点评 考查分离常数法化简函数解析式，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程．