Question

19．对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是锐角三角形；
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则△ABC是等边三角形．
其中正确的项有④．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的倍角公式进行判断．②根据三角形的图象和性质进行判断．③根据正弦定理去判断．④根据正弦定理和三角函数的公式进行判断．

解答 解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC为等腰或直角三角形，∴①错误．
②若sinB=cosA，则sinB=cosA＞0．
即A是锐角，sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A），
∴B=$\frac{π}{2}$-A或B+$\frac{π}{2}$-A=π，即A+B=$\frac{π}{2}$或B-A=$\frac{π}{2}$，则△ABC不一定为直角三角形，∴②错误．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则根据正弦定理得a²+b²＞c²，∴C为锐角，∴△ABC不一定是锐角三角形，∴③错误．
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinC}{cosC}$，即：tanA=tanB=tanC，由于，A+B+C=π，可得：A=B=C，可得△ABC为等边三角形，
故正确的是④．仅有一个
故答案为：④．

点评 本题主要考查正弦定理和三角公式的应用，要求熟练掌握三角函数的运算公式，考查学生的运算能力．