Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=6，E是PB的动点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PD∥平面ACE，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解三角形可得AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．再由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面PBC，进一步得到平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）连接BD交AC于G，连接GE，利用平行线截线段成比例可得E到平面ABCD的距离等于$\frac{2}{3}PC=4$．求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：在Rt△ADC中，由AD=CD=2，可得AC=$2\sqrt{2}$，
过C作CF⊥AB，垂足为F，可得CF=BF=2，则CB=$2\sqrt{2}$，又AB=4，
∴AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．
又PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，
∵PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC，
∴AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：连接BD交AC于G，连接GE，
∵PD∥平面ACE，∴PD∥EG，
则$\frac{PE}{EB}=\frac{DG}{GB}=\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$，∴E到平面ABCD的距离等于$\frac{2}{3}PC=4$．
∵${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}（2+4）×2=6$，
∴${V}_{E-ABCD}=\frac{1}{3}×6×4=8$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行的性质，训练了棱锥体积的求法，是中档题．