Question

18．已知等腰△OAB中，|OA|=|OB|=2且$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$，那么$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-2，4）．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AB}$，将$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$平方可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的范围，再利用数量积的定义得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$|，
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≥$\frac{1}{3}$（${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$），
又${\overrightarrow{OA}}^{2}={\overrightarrow{OB}}^{2}=4$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≥-2．
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2×2×cosA＜4，
∴-2≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜4．
故答案为：[-2，4）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．