Question

20．已知直线l₁是抛物线C：y²=8x的准线，P是C上的一动点，则P到直线l₁与直线l₂：3x-4y+24=0的距离之和的最小值为（　　）

• A． $\frac{24}{5}$
• B． $\frac{26}{5}$
• C． 6
• D． $\frac{32}{5}$

Answer 1

分析 由题意可知：点P到直线3x-4y+24=0的距离为丨PA丨，点P到x=-2的距离为丨PB丨，则点P到直线l₂：3x-4y+24=0和x=-2的距离之和为丨PF丨+丨PB丨，当A，P和F共线时，点P到直线l₂：3x-4y+24=0和直线x=-2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．

解答 解：由抛物线的方程，焦点F（2，0），
准线方程x=-2，根据题意作图如右图，
点P到直线l₂：3x-4y+24=0的距离为丨PA丨，
点P到x=-2的距离为丨PB丨；
而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，
故点P到直线l₂：3x-4y+24=0和x=-2的距离之和为
丨PF丨+丨PA丨，
而点F（2，0），到直线l₂：3x-4y+24=0的距离为$\frac{|6+24|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=6，
P到直线l₂：3x-4y+24=0和直线x=-2的距离之和的最小值：6，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义的应用及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．