Question

17．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}），（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），x∈R，f（x）$的最小值为-4，f（0）=2$\sqrt{2}$，且相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（II）若$x∈（{\frac{π}{2}，π}）$，且$f（x）=1，求cos（{x+\frac{5π}{12}}）$的值．

Answer 1

分析 （I）利用条件求出f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出f（x）的最值；
（2）由f（x）=1得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，求出cos（x+$\frac{π}{4}$），再利用和角公式计算cos（x+$\frac{5π}{12}$）．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的最小值是-4，A＞0，∴A=4，
∴f（0）=4sinφ=2$\sqrt{2}$，∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{4}$．
∵f（x）相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
∴$f（x）=4sin（x+\frac{π}{4}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴$x+\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
∴当x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$即x=-$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值f（-$\frac{π}{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=4．
 （Ⅱ）∵$f（x）=4sin（x+\frac{π}{4}）=1$，∴$sin（x+\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，
∵$x∈（\frac{π}{2}，π）$，∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，∴$cos（x+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$cos（x+\frac{5π}{12}）=cos（x+\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×（-\frac{{\sqrt{15}}}{4}）-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{{-3\sqrt{5}-1}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．