Question

10．已知f（x）=x³-3x+2+m（m＞0）．在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是（　　）

• A． m＞4+4$\sqrt{2}$
• B． 0＜m＜2+2$\sqrt{2}$
• C． 4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$
• D． 0＜m＜4+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用导数求得f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．

解答 解：∵f（x）=x³-3x+2+m，
∴求导f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]内，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=m，f（x）_max=f（2）=m+4，f（0）=m+2．
∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，
使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，
要满足题意，只需2f（x）²min＜f（x）²max
即2m²＜（m+4）²，即m²-8m-16＜0，解得4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$，
又已知m＞0，∴0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．