Question

15．在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D：$\frac{y^2}{2}-{x^2}=\frac{1}{3}$的中心，抛物线C的焦点与双曲线D的焦点相同．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P（t，1）（t＞0）为抛物线C上的定点，A，B为抛物线C上两个动点．且PA⊥PB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的标准方程，可得双曲线的焦点坐标，可得抛物线的焦点，即可得到抛物线的方程；
（2）求得P（2，1），设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），若PA⊥PB，则两直线斜率积为-1，求出直线AB的方程，可得直线AB经过定点（-2，5）．

解答 解：（1）双曲线D：$\frac{y^2}{2}-{x^2}=\frac{1}{3}$
即$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}$=1，焦点为（0，±1），
抛物线C的顶点是O，
可得抛物线C的方程为x²=4y或x²=-4y；
（2）若点P（t，1）（t＞0）为抛物线C上的定点，
则抛物线的方程为x²=4y，即有P（2，1），
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
因为PA⊥PB，
所以k_PAk_PB=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}-2）}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}-4}{4（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$•$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=-1，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，①
直线AB的方程为：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-y}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{{x}_{1}-x}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
整理得：4y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁），
即x₁x₂-x（x₁+x₂）+4y=0，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{-x=2}\\{4y=20}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
即直线AB经过定点（-2，5）．

点评 本题考查的知识点是抛物线的方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，斜率公式，考查化简整理的运算能力，难度中档．