Question

13．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₁上点P的极角为$\frac{π}{4}$，Q为曲线C₂上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2）$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐标为（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
可得直角坐标方程：${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t可得普通方程：x+2y-3=0．
（2）$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐标为（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
∴M到l的距离$d=\frac{|1+cosα+2+sinα-3|}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}|sin（α+\frac{π}{4}）|$≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
从而最大值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．