Question

3．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，过F作双曲线C渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，求出A的坐标，代入渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，化简整理，由离心率公式，即可得出结论．

解答 解：取右焦点F（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x．
∵FA⊥OA，
∴可得直线FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
令x=0，解得y=$\frac{ac}{b}$，∴B（0，$\frac{ac}{b}$）．
∵$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，
∴A（$\frac{0+2c}{3}$，$\frac{\frac{ac}{b}+2×0}{3}$），即A（$\frac{2c}{3}$，$\frac{ac}{3b}$），
又A在渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，
∴$\frac{ac}{3b}$=$\frac{b}{a}$•$\frac{2c}{3}$，
解得$\sqrt{2}$b=a．
∴该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：D．

点评 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、确定A的坐标是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．