Question

13．已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10-f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（$\frac{y}{{x}^{2}}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 分类讨论，解不等式f（x+8）≥10-f（x）；
（Ⅱ）利用分析法证明不等式．

解答 （Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10-|x+1|．
当x＜-9时，则-x-9≥10+x+1，解得x≤-10；
当-9≤x≤-1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；
当x＞-1时，则x+9≥10-x-1，解得x≥0．
所以原不等式的解集为{x|x≤-10或x≥0}．（5分）
（Ⅱ）证明：要证$f（y）＜\;|x|•f（\frac{y}{x^2}）$，即$|y+1|＜\;|x||\frac{y}{x^2}+1|$，只需证明$\frac{|y+1|}{|x|}＜\;|\frac{y}{x^2}+1|$．
则有$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}-\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{{x^2}{{（y+1）}^2}-{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{{x^2}{y^2}+2{x^2}y+{x^2}-（{y^2}+2{x^2}y+{x^4}）}}{x^4}$
=$\frac{{{x^2}{y^2}+{x^2}-{y^2}-{x^4}}}{x^4}$=$\frac{{（1-{x^2}）（{x^2}-{y^2}）}}{x^4}$．
因为|x|²＞1，|y|²＜1，则$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}-\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{（1-{x^2}）（{x^2}-{y^2}）}}{x^4}＜0$，
所以$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}＜\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$，原不等式得证．（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．