Question

11．设函数f（x）=-x²-3，g（x）=2xlnx-ax，且函数f（x）与g（x）在x=1处的切线平行．
（Ⅰ）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x＞0时，g（x）-f（x）≥0恒成立，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出g（1），g′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x，g′（x）=2lnx+2-a，
∵函数f（x）与g（x）在x=1处的切线平行，
∴f′（1）=g′（1），解得：a=4，
故g（1）=-4，g′（1）=-2，
故函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程是：2x+y+2=0；
（Ⅱ）x∈（0，+∞）时，由g（x）-f（x）≥0恒成立，
得x∈（0，+∞）时，2xlnx-ax+x³+3≥0，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，
设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），
则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
故h（x）_min=h（1）=4，
故a的范围是（-∞，4]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．