Question

18．已知平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）与曲线C₁交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）把直线θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0，整理可得：ρ²-2ρ-5=0，利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y+1）²=9，展开为：x²+y²-2$\sqrt{3}$x+2y-5=0，可得极坐标方程：${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2x．
（II）把直线θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0，
整理可得：ρ²-2ρ-5=0，
∴ρ₁+ρ₂=2，ρ₁•ρ₂=-5，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-4×（-5）}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．