Question

11．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（　　）

• A． $\frac{21}{58}$
• B． $\frac{12}{29}$
• C． $\frac{21}{64}$
• D． $\frac{7}{27}$

Answer 1

分析 根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有4⁴=256种不同的放法，
若没有空盒，有A₄⁴=24种放法，有1个空盒的放法有C₄¹C₄²A₃³=144种，有3个空盒的放法有C₄¹=4种，
则至少一个盒子为空的放法有256-24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P₁=$\frac{232}{256}$，
恰好有两个盒子为空的放法有256-24-144-4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P₂=$\frac{84}{256}$，
则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p=$\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$=$\frac{21}{58}$；
故选：A．

点评 本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．