Question

20．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，E是BC的中点，F是PA上的一个动点．
（1）求证：CF⊥BD；
（2）求二面角D-PE-A的大小的正弦值；
（3）若直线EF与平面CDE所成角的正切值为$\frac{1}{\sqrt{21}}$，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明BD⊥平面PAC即可．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
（3）连接EF，AE，则∠FEA是直线EF与平面CDE所成角，建立方程关系进行求解即可．

解答 （1）证明：连接AC，BD相交于O，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵CF?平面PAC，
∴BD⊥CF．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（2，0，0），E（2，$\sqrt{3}$，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{PE}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（2，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$），
设平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，0，2）$，
设平面APE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，则y=2，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，2，0），
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}}{\sqrt{3+4}•\sqrt{3+4}}=\frac{3}{7}$，
则sin$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\sqrt{1-（\frac{3}{7}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{49}}=\sqrt{\frac{40}{49}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
∴二面角D-PE-A的大小的正弦值为$\frac{2}{7}\sqrt{10}$．
（3）连接EF，AE，则∠FEA是直线EF与平面CDE所成角，
则AE=|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
∵tan∠FEA=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AF}{\sqrt{7}}$=$\frac{1}{\sqrt{21}}$，
∴AF=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线垂直的证明，考查二面角的正弦值和线面角的求法，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用的方法，解题时要注意向量法的合理运用．