Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C的两个焦点，A、B为过F₁的直线与椭圆的交点，且△F₂AB的周长为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断

1

|F1A|

+

1

|F1B|

是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，c=1，a=

3

，b=

3-1

=

2

，由此可知椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）当直线斜率不存在时，有x₁=x₂=-1，y1=

2 3

3

，y2=-

2 3

3

，

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

2

2 3 3

=

3

；直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，然后由根与系数的关系能够导出

1

|F1A|

+

1

|F1B|

的值．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，4a=4

3

，c=1
所以a=

3

，b=

3-1

=

2

所以椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）当直线斜率不存在时，有x₁=x₂=-1（2），y1=

2 3

3

（3），y2=-

2 3

3

（4）

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

2

2 3 3

=

3

（6分）
（2）当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0（7分）
所以x1+x2=-

6k2

2+3k2

， x1x2=

3k2-6

2+3k2

（或求出x₁，x₂的值）
所以

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

1

(x1+1)2+ y 2 1

+

1

(x2+1)2+ y 2 2

=

1

1+k2

(

1

|x1+1|

+

1

|x2+1|

)=

1

1+k2

×

|x1-x2|

|x1x2+x1+x2+1|

=

1

1+k2

×

36k4 (2+3k2)2 -4× 3k2-6 2+3k2

|- 6k2 2+3k2 + 3k2-6 2+3k2 +1|

=

1

1+k2

×

4 3k2+3

4

=

3

（12分）
所以

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

3

（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．