Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=2（a_n-n+1）．
（1）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，若S_n≥a_n+2n²，求：正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲证数列{a_n-2n}为等比数列，只需证得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），根据等式a_n+1=2（a_n-n+1）变形可得结论；
（2）根据（1）先求出a_n，从而求出S_n，然后代入不等式S_n≥a_n+2n²，从而求出正整数n的最小值．

解答：（1）证明：∵a_n+1=2（a_n-n+1）
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n} 为等比数列；
（2）解：由（1）知，
a_n-2n=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+2n
∴S_n=2ⁿ⁺¹+n²+n-2
由S_n≥a_n+2n²
可得2ⁿ⁺¹+n²+n-2≥2ⁿ+2n+2n²，
∴2ⁿ≥n²+n+2
∴正整数n的最小值为5．

点评：本题主要考查了数列的求和，以及等比关系的确定，同时考查了计算能力，属于中档题．