Question

一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.

(1)求证: 平面ABD⊥平面ACD；

(2)求AD与BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小. 

Answer 1

(1)证明略 (2)  (3) 二面角A—BD—C的大小为arctan2

解析:

取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.

又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD.

∴平面ABD⊥平面ACD。

(2)解: 在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角.

设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m

即AD与BC所成的角为arctan

(3)解:∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，

∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=m,∴EG=m

又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2.

即二面角A—BD—C的大小为arctan2.

另法（向量法）: (略)