Question

【题目】如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ， ， ， ，四边形为矩形.

（1）求证：平面平面；

（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）点为线段的中点

【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理得，再由矩形性质得，由线面垂直判定定理得，最后根据面面垂直判定定理得结论 （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各平面法向量，根据向量数量积两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求点坐标，即得点的位置

试题解析：（1）证明：由平面几何的知识，易得， ，

又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且.

因为四边形为矩形，

所以.

由， ， ，

可得 .

又，

所以平面 平面.

（2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.

事实上，以为原点， 为轴， 为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则, ，

设,由，

即，得.

设平面的一个法向量为，

则，即，

不妨设，取.

平面的一个法向量为.

二面角为大小为

于是.

解得 或（舍去）.

所以当点为线段的中点时，二面角为大小为.