Question

(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

Answer 1

思路解析：四点共面问题需明确满足何条件的四点共面.

解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类计数原理，知与顶点A共面三点的取法有+3=33种.

(2)(间接法)如图，从10个顶点中取4个点的取法有种，除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点中取出的4点必定共面，有=60种.四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况.从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为-(60+6+3)=141种.