Question

（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，取其中4个不共面的点，有多少种不同的取法？

Answer 1

解：（1）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有种取法，含顶点A的三条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据加法原理，与顶点A共面三点的取法有+3=33种.

（2）如上图，从10个顶点中取4个点的取法有种，除去4点共面的取法种数须可得到结果，从四面体同一个面上的6个点中取出的4点必定共面，有=60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面的情形，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面的情形（对棱中点连线两两相交且互相平分），故4点不共面的取法为-（60+6+3）=141种.

点评:本题主要考查组合、立体几何知识及分类讨论的数学思想方法.注意:（1）用直接法；（2）用间接法，也是排除法.当直接法考虑比较难或分类复杂时，可考虑用间接法.