Question

如图，已知矩形AA₁B₁B中，AA₁=2，AB=1，若矩形AA₁C₁C是矩形AA₁B₁B绕AA₁旋转而成，记二面角B-AA₁-C的大小为θ，θ∈（0，π），E是BC的中点．
（1）求证：无论θ为何值，A₁C∥平面AEB₁；
（2）求直线AB与平面ACB₁所成角的正弦值的取值范围．

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁中点F，连接EF，A₁F，要证明A₁C∥平面AEB₁，只需证明面A₁CF∥面AEB₁，进而转化为线面平行即可；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，转化为求平面ACB₁的法向量与向量

AB

的夹角余弦值解决．

解答：解：（1）取B₁C₁中点F，连接EF，A₁F，
∵FE∥AA₁，FE=AA₁，∴FEAA₁为平行四边形，∴A₁F∥AE，
∵A₁F?面AEB₁，∴A₁F∥面AEB₁，
又CF∥B₁E，CF=B₁E，CF?面AEB₁，
∴CF∥面AEB₁，∴面A₁CF∥面AEB₁，
∴A₁C∥面AEB₁．
（2）∵AC⊥AA₁，AB⊥AA₁，∴∠CAB=θ，∠CAE=

θ

2

，如图，建立空间直角坐标系，
∴E（0，0，0），A（0，cos

θ

2

，0），B（sin

θ

2

，0，0），C（-sin

θ

2

，0，0），B₁（sin

θ

2

，0，2），
∴

AB

=（sin

θ

2

，-cos

θ

2

，0），

AC

=（-sin

θ

2

，-cos

θ

2

，0），

CB1

═（2sin

θ

2

，0，2），
设平面ACB₁的法向量

n

=（x，y，z），
则-xsin

θ

2

-ycos

θ

2

=0，2xsin

θ

2

+2z=0，

n

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

，-sin

θ

2

cos

θ

2

）=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

，-

1

2

sinθ），
∴cos＜

AB

，

n

＞=

sinθ

1+ 1 4 sin2θ

=

1

1 sin2θ + 1 4

∈（0，

2 5

5

]，
所以直线AB与平面ACB₁所成角的正弦值的取值范围为（0，

2 5

5

]．

点评：本题考查线面平行的判定、线面角的求解以及面面平行的性质，考查空间向量的坐标运算，考查学生分析问题解决问题的能力．