Question

数列a_n的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列a_n+3是等比数列，求出数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的前n项和T_n；
（Ⅲ）判断数列a_n中是否存在构成等差数列的三项？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，，
数列a_n+3是等比数列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（Ⅱ），T_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ-（1+2++n），
令T_n^′=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2T_n^′=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．
分析：（Ⅰ）根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得判断出数列a_n+3是等比数列，进而利用等比数列的通项公式求得a_n+3进而求得a_n．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n中，进而利用错位相减法和等差数列的求和公式求得前n项的和．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，根据等差中项的性质可知2a_p=a_s+a_r，利用（1）中的a_n展开得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，进而根据2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，判断出假设不成立．故可知不存在这样的三项．
点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．