Question

已知：数列{a_n}满足an+1=

4an-2

an+1

，其中n∈N，首项为a₀．
（1）若对于任意的n∈N，数列{ a_n}还满足a_n=p（p为常数），试求a₀的值；
（2）若a₀=4，求满足不等式a_n≤2

16

65

的自然数n的集合；
（3）若存在a₀，使数列{ a_n}满足：对任意正整数n，均有a_n＜a_n+1，求a₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知a_n=a_n+1=a₀=p，由此可知a₀的值为1或2．
（2）由已知，得a_n+1-1=

3(an-1)

an+1

，an+1-2=

2(an-2)

an+1

，a₀=4，由此可以求得自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}．
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜

4an-2

an+1

，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．要使a₁＜a₂，则a₁＜-1或1＜a₁＜2．然后在分类讨论，可以求得a₀∈（1，2）．

解答：解：（1）∴对任意的n∈N，a_n=p（p为常数），
∴a_n=a_n+1=a₀=p，
则

4p-2

p+1

=p，得p²-3p+2=0，
所以p=1或p=2，故a₀的值为1或2．（4分）
（2）由已知，得a_n+1-1=

3(an-1)

an+1

，an+1-2=

2(an-2)

an+1

，
a₀=4，所以由（1）得a_n≠1，2对任意n∈N成立．

由此得 an+1-1 an+1-2 = 3 2 • an-1 an-2 ，进而 an-1 an-2 =( 3 2 )n+1， ∴an= 2( 3 2 )n+1-1 ( 3 2 )n+1-1 . 由an≤2 16 65 ，得 1 ( 3 2 )n+1-1 ≤ 16 65 ，得n≥3.

∴所求的自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}（8分）
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜

4an-2

an+1

，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．
要使a₁＜a₂，则a₁＜-1或1＜a₁＜2．
（i）当a₁＜-1时，a₂=f（a₁）=4-

6

a1+1

＞4，而a₃=f（a₂）=4-

6

a2+1

＜4＜a₂，明显不满足题意，舍去；
（ii）当1＜a₁＜2时，由a₂=4-

6

a1+1

，得1＜a₂＜2，
由a₃=4-

6

a2+1

，和1＜a₃＜2，
…，…，
依此类推，a_n=4-

6

an-1+1

，得1＜a_n＜2，
而1＜a_n＜2时，不等式a_n＜a_n+1成立．
∴数列{a_n}中的所有项均满足a_n＜a_n+1（n∈N*）．
综上所述，a₁∈（1，2），由a₁=f（a₀），得a₀∈（1，2）（14分）

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．属于难题．