Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，.

（1）求的范围；

（2）求证：

Answer 1

【答案】（1）的范围为，（2）证明见详解

【解析】

（1）求出，设，通过的导函数判断函数的单调性，转化为求解函数的最小值，最后分两种情况讨论即可

（2）构造函数，先证明在上恒成立，即得，然后利用在上单调递增即可证明.

（1）由得

设，则

令得

当时，单调递减

当时，单调递增

所以

当时，，所以函数在R上单调递增，无极值点

当时，，且当时，

时，

所以当时有两个零点，

不妨设，则有

综上：当有两个极值点，时，的范围为

（2）证明：由（1）可得，是的两个零点

函数在上单调递减，在上单调递增，

可设

构造函数

则有

所以在上单调递增

因为，所以在上恒成立

所以，即

因为，所以

因为在上单调递增，所以

所以