Question

【题目】如图，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，已知，．

（1）求，的方程；

（2）过作的不垂直于轴的弦，为弦的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

(1)由可推出,从而,,因此,推出,,从而得到的方程;

(2)设直线的方程为,联立,利用韦达定理和中点坐标公式求出,从而得到直线的方程为,再联立,由韦达定理和弦长公式求出,再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离以及到直线的距离,进而得到四边形的面积的最小值.

(1)∵,∴,

∴,即,

∴,,

∴,

∴,,

∴的方程为,的方程为.

(2)依题意,直线的方程可设为,设,,

由消去可得,

∴,,

∴,

∴中点坐标为,

∴直线的方程为,

由消去,可得,

∴且,,

∴,

设到直线的距离为,则到直线的距离也为,

∴,

∵,

∴,

又∵,

∴,

∴四边形的面积,

∴当时,取得最小值,且,即四边形面积的最小值为.